对这种计算事件概率的题,臻宝同志在卡诺图的基础上提出了一种图解法。
卡诺图形式如图所示:
在考研概统的计算事件概率的小题中,通常是二、三变量的卡诺图。又经研究发现,二变量的卡诺图的0、1互换后并适当改装更适合考研题(我也不知道为什么,可能是逻辑正的在前更顺眼?)以下二变量时就用这种反着的卡诺图,到三变量时再换回来。
【资料图】
如何用简洁的图形直观清晰的表达P(A)、P(AB)这类事件的概率呢?对于常见的不等式和等式,它们的几何意义又是怎样的呢?
我们不妨将事件空间按这样的基本事件表格分解,但注意,单元格面积此时还不能完全表示事件概率,除非标明数值,或者A、非A,B、非B的行宽、列宽标明数值并按比例绘制表格。通常在未标明概率数值时,就默认一个正当中的十字,如果题目继续施加具体条件,则根据条件再做相应调整(见后续讲解)
背过标题行列后就可以缺省,只需关注标注基本事件概率划分的交线(不相关⊥,相关倾斜)
由于在选择题中,通常可以用特例法、排除法,所以画成十字相交但不写垂直符号,意思是举不相关情形时的特例。
对于A选项和B选项,我们发现P(AB)可能=P(A)P(B),但相关时,交线可能右斜也肯可能左斜,所以这俩选项都错。
对于C、D两个选项,我们发现矩形面积的不等式比较稳妥的就是同底不等高,很明显C对D错。
再来看一道:
它的图解几何意义是非常生动的:
P(A)=P(B)就是黑斜线和红色斜线这两个矩形面积相等,P(AB)是其公共面积,等价于令副对角线的两个矩阵面积相等,其他选项的几何意义也都是明确的。易得C对。
当我们熟练掌握以后,再来看条件概率的图解法怎么表示。
有的情况是条件概率给定数值,这个时候我们只需在对应单元格中标明数值。
如图,我们画完表格后,发现题目给定的条件等价于P(非A|B)=0,所以我们在其单元格中标明数值=0,
则P(A+B)这个阴影面积就一目了然的=P(A)的矩形面积,所以易得只有C对。
也有的题目的条件概率不能标明数值,求一个几何上的条件:
有同学在图中画下划线、?的这一步想不到。但这道题在臻宝-卡诺表格中的几何意义是生动的,我们引入条件概率的臻宝-卡诺图表示——缩圈+倾斜(如果相关):
如图,条件概率P(A|B),我们就把臻宝-卡诺表中的B的竖矩形拿出来,然后画一道A的横线,至于非A则不用标记,因为要表示的是P(A|B),它的大小就是上边P(AB)小矩形的面积/P(B)的大的竖矩形面积,但相比整个表格来说是“缩圈”了。然后P(A|非B)的表示同理。我们发现如果令P(A|B)>P(A|非B),当A是水平横线,需要令B的竖线倾斜,此时B的圈是个上宽下窄的梯形,梯形中两部分的大小在题目的选项就是P(B|A)>P(B|非A)。
文字解释比较长,但几何意义是一目了然的。
实不相瞒,当臻宝同志向我传授这一招术时,我盛赞臻宝大才。原来事件概率是大圈套小圈。
再看一道:
续其解析:
这些代数过程都并不是很直观的,现在我们来看其在臻宝-卡诺表中的几何意义:
它们的几何意义都是直观简明的,D选项拐型中的上大下小,但两个拐头可能是B的竖矩形比A的横矩形面积大。在图中画的就是拐头的左下比右上胖一些。
至此,你应该非常信服臻宝-卡诺图的威力。接下来是更复杂的三变量情形。
注意,二变量时用的是反着的卡诺图,三变量时用正着的卡诺图。
“全集分解”正契合臻宝-卡诺图的思想。我们按照三变量卡诺图的形式画图如下:
请牢记该表格形式。然后我们填表:
等题目给的条件都填完了,就开始算数。有时候可能要填表的单元格比较多,如下:
为了更完整的展示步骤,我分步填表,以至于它看起来像是做一个简易的数独:
实际操作时在同一个表上陆续填就行。也就是说,我们把算术过程用图表语言表达。你也可以看到,由于三变量的卡诺图几何意义并不明显,所以它更侧重于算术。
如果说这个填表数独不能填完整,比如:
我们发现数表填到此时卡了一下,但没关系,这个题只要出了,条件一定是充分的,我们只需要顺着算数即可:
继续上一个表填表,然后算数:
如此以来,我们在三变量卡诺图的结构上可以看出,这种题目只需要填算至多不超过8个单元格的数即可,但通常远小于8个。